প্রোবাবিলিটি
প্রোবাবিলির এই কোর্সে আমরা মৌলিক বিষয় নিয়ে  করব।কোর্সটি কলেজ এবং বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য উপযোগী।
এই কোর্সে কি কি রয়েছে তার একটি তালিকা দেওয়া হলো।


1.Basic Concept of Probability  

2.Set Theory  

3.Methods of Counting Sample Points  

4.Conditional Probability, Bayes Theorem & Independence  

5.Random Variables

6. Mathematical Expectation 

7.Basic Concepts of Generating Function.







প্রতিটি অধ্যায়ের শেষে Study Materials হিসেবে Note Sheet, Exercises & Solutions এর পিডিএফ দেওয়া আছে। যে কেউ ফ্রিতে ডাউনলোড করে নিতে পারবে।


বি দ্র কোনো থিউরির প্রমাণ দেখানো হবে না, শুধুমাত্র থিউরির Application দেখানো হবে।যে সকল বই এবং ওয়েবসাইটের সাহায্য নেওয়া হয়েছে তাদের নাম Acknowledgement  পেইজে দেওয়া আছে।
এই কোর্স ছাড়াও Probability Distribution এর উপর আরো একটি কোর্স আছে।

 Basic Concept of Probability
বাস্তব জীবনে আমরা সকলেই সম্ভাবনা বা প্রোবাবিলিটির সাথে বিশেষভাবে পরিচিত।

প্রোবাবিলিটি হলো কোনো ঘটনা (Event) ঘটবে কি ঘটবে না তার গাণিতিক পরিমাণ (Numerical measures)

প্রোবাবিলিটি নিয়ে আলোচনা করার সময় প্রায়ই আমাদের কাছে কিছু নতুন শব্দ চলে আসবে।নতুন শব্দ গুলোর সাথে আগে পরিচিত হবার পর আমরা পরবর্তী আলোচনা শুরু করব।

Experiment (পরীক্ষণ):
পরীক্ষণ (experiment) এমন একটি কাজ যা শর্তসাপেক্ষে পুনারাবৃত্তি ঘটানো যায়।
পরীক্ষণের সম্ভাব্য ফলগুলো আগে থেকেই জানা থাকে কিন্তু নিশ্চিতভাবে পরীক্ষণের আগে জানা যায় না।
যেমন একটি নিটাল (Unbiased) কয়েক একবার নিক্ষেপ করলে আমরা হেড বা টেল পাই কিন্তু কোনটি আসবে পূর্বে নিশ্চিতভাবে বলা যায় না।





Outcome(ফল):
কোনো পরীক্ষণের (experiment) ফলাফলকে উক্ত পরীক্ষণের ফল বলা হয়।
Event(ঘটনা):
কোনো পরীক্ষণের (experiment) এক বা একাধিক ফলকে ঘটনা বলে। Event কে সাধারণ ইংরেজি বড় অক্ষর (A,B,C, . . . ) দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। যেমন-একটি Unbiased Dice নিক্ষেপ করলে জোড় সংখ্যা বিশিষ্ট পিঠগুলো নিয়ে একটি ঘটনা হতে পারে আবার এক থেকে ছয় পর্যন্ত যে কোনো একটি পিঠ নিয়েও ঘটনা হতে পারে।
Equally likely Outcome(সমসম্ভাব্য ফল):
কোনো পরীক্ষণের (experiment) সম্ভাব্য ফল গুলো প্রত্যেকটির প্রোবাবিলিটি সমান হয় তবে ফল গুলিকে Equally likely outcome বলে। যেমন-একটি Unbiased Dice নিক্ষেপ করলে 1, 2, 3, 4, 5 & 6 বিন্দু যুক্ত যেকোনো একটি পিঠ আসার সম্ভাবনা সমান,এখানে ৬টি ফলই সমসম্ভাব্য।
Mutually Exclusive event(পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা) :
কোনো পরীক্ষণের ঘটনাগুলোকে পরস্পর বর্জনশশীল বলা হয় তখনই যখন সমসম্ভব্য একটি ঘটলে অন্যগুলো ঘটবে না
যেমন-একটি কয়েন টস করলে হেড আসলে টেল আসবে না আবার টেল আসলে হেড আসবে না, এখানে হেড এবং টেল আসা পরস্পর বর্জনশীল।
Favorable Outcome(অনুকূল ফল):
কোন ঘটনার স্বপক্ষে ফল গুলোকে উক্ত ঘটনার ফল বলা হয় |যেমন ছক্কা নিক্ষেপে যদি বিজোড় পিঠগুলো আসে, সে ক্ষেত্রে 1,  3 & 5 বিন্দুগুলো অনুকূল ফলাফল।



এতক্ষণ আমরা সম্ভাবনার সাথে সম্পর্কিত কিছু বিষয়ের সাথে পরিচিত হলাম এখন আমরা শিখব কিভাবে সম্ভাবনা পরিমাণ করতে হয় ।

Mathematical measure of Probability
যদি কোনো একটি সসীম ঘটনা A হয় তবে A ঘটনার সম্ভাবনাকে P(A) প্রকাশ করা হয় |




n(A) = A ঘটনার উপাদান সংখ্যা
n(S) = ঘটনাজগতের মোট উপাদান সংখ্যা ।

 এখানে n(S) ≥ n(A)

যেমন-একটি ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে সসীম ঘটনাজগত S ={ 1,2,3,4,5,6 } এবং জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা A হলে , A= {2,4,6 } সুতরাং n(A) =3,  n(S)= 6
তাহলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 





Limitation of Mathematical measure of Probability
অনেক সময় উপরের নিয়মে সম্ভাবনার পরিমাণ নির্ণয় করা যায় না ।যে সকলক্ষেত্রে নির্ণয় করা যায় না –
1. Outcomes are not Equality likely.
2. Number of Outcomes are Infinity.

Statistical measure of Probability


যদি কোনো একটি অসীম ঘটনা A হয় তবে A ঘটনার সম্ভাবনাকে P(A) প্রকাশ করা হয় | 




m=অসীমক্ষেত্রে A ঘটনার উপাদান সংখ্যা
n=অসীমক্ষেত্রে ঘটনাজগতের মোট উপাদান সংখ্যা |


Remarks:
সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান 0 0 ≤P(A) ≤ 1

 Subjective Probability

 উপরের আলোচনার বাইরেও আরো একধরণের সম্ভাবনা নিয়ে আমরা কাজ করে থাকি,যা ব্যাক্তি নির্ভর সম্ভাবনা(Subjective Probability) নামে পরিচিত। এই সম্ভাবনা কোন ব্যাক্তি বিশেষের বিশ্বাস,বিবেচনা ও অভিজ্ঞতার আলোকে নির্ণয় করা হয় । 

 যেমন কোনো একদিন আমার মনে হলো আজ বৃষ্টি হতে পারে তাই ছাতা নিয়ে বের হলাম আর একই দিনে আমার বন্ধুর মনে হলো আজ বৃষ্টি হবে না ।

 ব্যাক্তি নির্ভর সম্ভাবনার মান পুরোপুরি ব্যাক্তির মতামতের উপর নির্ভর করে ,তাই একই ঘটনার সম্ভাবনার মান ভিন্ন ভিন্ন হয় ।